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數學化的物理與物理思維(圖)
數學化的物理與物理思維(圖)數學化的物理與物理思維(圖)
伽利略提出自然的語言是數學。牛頓用數學化的力學使之前的大部分自然哲學變得蒼白無力。運用牛頓發明的微積分，物理能夠精確預言物體的運動。對於各種問題，數學化的物理會給出一個實打實的答案，不信的可以去實驗驗證。這就是硬道理。那些玩弄文字游戲的含糊空洞之詞從此失去了價值，被逐出了真正學識的殿堂。但物理的數學化並不意味著物理思維是數學思維。綜觀物理史，極少有物理學家單純從數學得到靈感，也極少有數學家對物理做出過革命性的貢獻。物理直覺與物理靈感在物理學家大腦中的表現形式更多的是圖像。
法拉第是個學徒工出身，沒讀過幾天書，數學水平停留在簡單的三角函數與代數水平，但他卻著手電磁現象的實驗與理論研究。基礎薄弱的他發明了磁力線這樣的圖像。麥克斯維爾在看了法拉第的磁力線之後，評論說：法拉第的數學是在一個更高的層次，需要未來的數學家加以發展完善。牛頓提出了引力的超距作用，而法拉第首先使用了“場”（field）的概念。Field 一詞的這個用途正是法拉第所創。電磁場理論被麥克斯維爾發展成了一組簡潔的微分方程，但相關的物理圖像對於我們理解電磁作用仍然是不可缺少的。在物理圖像的基礎上，相關的微分方程才能獲得生命，產生與現實對應的聯系。不信的話，可以試著把相關的微分方程給出邊界條件，交給一個從未接觸過電磁學的數學家，看能否很快得出物理的分析結果。愛因斯坦在發現廣義相對論方程之前，已經發表了相關理論的大量論文，基本的物理概念已經非常清楚，剩下的工作已經只是准確鎖定引力方程的形式，怎麼把引力與曲率對應。龐加萊數學水平遠超愛因斯坦，兩人同時試圖攻克引力方程這一個似乎純粹數學的問題，但愛因斯坦還是搶先了一步。物理思維不能用數學代替可見一斑。
如果我們相信自然的語言是數學，那麼反過來，我們一定能在自然的研究中發現數學。事實確實如此。物理學家會在物理研究中發現新的數學，牛頓的微積分就是一例。很多時候，物理學家也會在研究中發現已有的數學，愛因斯坦的黎曼幾何引力理論是一例，DIRAC方程又是一例。DIRAC 想的只是如何將相對論的能量公式開平方，他用 4x4 的矩陣試來試去，湊出了所謂DIRAC矩陣，那時他根本不知道什麼 Clifford 代數。楊振寧發現規范場的那篇論文似乎並沒有提到 SU（2）群，更沒有涉及 tangent bundle 之類的數學。規范場的動力學方程是楊振寧是根據物理上規范不變的要求試出來的，相關的物理圖像我在之前的文章中寫過，就不必贅述了。楊-米爾斯場給純粹數學提供了大量的研究課題。費曼的路徑積分把無窮多路徑的幾率加起來，它被物理學用於計算各種量子現象可謂屢試不爽，還被運用於金融等領域，但至今仍沒有完整的數學理論。即使在超弦理論這樣高度數學化的領域，物理學家仍然大放光彩。Ed Witten 根據物理概念得出的一些數學結論雖然證明不嚴格，但也獲得了數學的最高獎 -Fields Medal。
那麼物理學家怎麼思維呢？物理思維的起點應該是圖像思維，然後在圖像的基礎上進行逐步定量思維，如此循環反復的一個過程。即使在我寫的一些物理科普中也可以看出這一點。先有一個圖像，弄清楚基本的關系，抓住要點、拋開次要細節，進行定量的計算。下面的圖例就是例子。
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法拉第是個學徒工出身，沒讀過幾天書，數學水平停留在簡單的三角函數與代數水平，但他卻著手電磁現象的實驗與理論研究。基礎薄弱的他發明了磁力線這樣的圖像。麥克斯維爾在看了法拉第的磁力線之後，評論說：法拉第的數學是在一個更高的層次，需要未來的數學家加以發展完善。牛頓提出了引力的超距作用，而法拉第首先使用了“場”（field）的概念。Field 一詞的這個用途正是法拉第所創。電磁場理論被麥克斯維爾發展成了一組簡潔的微分方程，但相關的物理圖像對於我們理解電磁作用仍然是不可缺少的。在物理圖像的基礎上，相關的微分方程才能獲得生命，產生與現實對應的聯系。不信的話，可以試著把相關的微分方程給出邊界條件，交給一個從未接觸過電磁學的數學家，看能否很快得出物理的分析結果。愛因斯坦在發現廣義相對論方程之前，已經發表了相關理論的大量論文，基本的物理概念已經非常清楚，剩下的工作已經只是准確鎖定引力方程的形式，怎麼把引力與曲率對應。龐加萊數學水平遠超愛因斯坦，兩人同時試圖攻克引力方程這一個似乎純粹數學的問題，但愛因斯坦還是搶先了一步。物理思維不能用數學代替可見一斑。
如果我們相信自然的語言是數學，那麼反過來，我們一定能在自然的研究中發現數學。事實確實如此。物理學家會在物理研究中發現新的數學，牛頓的微積分就是一例。很多時候，物理學家也會在研究中發現已有的數學，愛因斯坦的黎曼幾何引力理論是一例，DIRAC方程又是一例。DIRAC 想的只是如何將相對論的能量公式開平方，他用 4x4 的矩陣試來試去，湊出了所謂DIRAC矩陣，那時他根本不知道什麼 Clifford 代數。楊振寧發現規范場的那篇論文似乎並沒有提到 SU（2）群，更沒有涉及 tangent bundle 之類的數學。規范場的動力學方程是楊振寧是根據物理上規范不變的要求試出來的，相關的物理圖像我在之前的文章中寫過，就不必贅述了。楊-米爾斯場給純粹數學提供了大量的研究課題。費曼的路徑積分把無窮多路徑的幾率加起來，它被物理學用於計算各種量子現象可謂屢試不爽，還被運用於金融等領域，但至今仍沒有完整的數學理論。即使在超弦理論這樣高度數學化的領域，物理學家仍然大放光彩。Ed Witten 根據物理概念得出的一些數學結論雖然證明不嚴格，但也獲得了數學的最高獎 -Fields Medal。
那麼物理學家怎麼思維呢？物理思維的起點應該是圖像思維，然後在圖像的基礎上進行逐步定量思維，如此循環反復的一個過程。即使在我寫的一些物理科普中也可以看出這一點。先有一個圖像，弄清楚基本的關系，抓住要點、拋開次要細節，進行定量的計算。下面的圖例就是例子。
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