這是什麼？NP問題解決了麼？

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第 2 樓 / 中華龍

問題解決進度

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以下列出希爾伯特的23個問題，各問題的解答狀況可參見各問題條目。

#主旨進展說明第1題連續統假設部分解決1963年美國數學家保羅·柯恩以力迫法證明連續統假設不能由策梅洛-弗蘭克爾集合論（無論是否含選擇公理）推導。也就是說，連續統假設成立與否無法由ZF/ZFC確定。第2題算術公理之相容性部分解決庫爾特·哥德爾在1931年證明了哥德爾不完備定理，根岑在1936年證明了一階算術系統（即皮亞諾算術系統）是自洽的。但這些定理是否已回答了希爾伯特的原始問題，數學界沒有共識。第3題兩四面體有相同體積之證明法已解決答案：否。1900年，希爾伯特的學生馬克斯·登以一反例證明了是不可以的。第4題建立所有度量空間使得所有線段為測地線部分解決此問題被英國數學史學家傑雷米·格雷（Jeremy Gray）認為過於隱晦。最早的公認解法由蘇聯數學家阿列克謝·波戈雷洛夫（Алексей Васильевич Погорелов）提出。第5題所有連續群是否皆為可微群部分解決1953年日本數學家山邊英彥證明在無“小的子群”情況下，答案是肯定的[1]；但此定理是否已回答了希爾伯特的原始問題，數學界仍有爭論（因為希爾伯特那個年代沒有“流形”的概念）。第6題公理化物理部分解決希爾伯特後來對這個問題進一步解釋，而他自己也進一步研究這個問題。柯爾莫哥洛夫對此也有貢獻。然而，盡管公理化已經開始滲透到物理當中，量子力學中仍有至今不能邏輯自洽的部分（如量子場論），故該問題未完全解決。但也有爭論認為，希爾伯特所說的“物理”一詞並不包含在當時尚未發現的量子力學等理論。第7題若b是無理數、a是除0、1之外的代數數，那麼ab是否超越數已解決答案：是。分別於1934年、1935年由蘇聯數學家亞歷山大·格爾豐德與德國數學家特奧多爾·施耐德獨立地解決。第8題黎曼猜想及哥德巴赫猜想和孿生素數猜想未解決雖然分別有比較重要的突破和被解決的弱化情況，三個問題均仍未被解決。第9題任意代數數域的一般互反律部分解決1927年德國的埃米爾·阿廷證明在阿貝爾擴張的情況下答案是肯定的；此外的情況則尚未證明。第10題不定方程可解性已解決答案：否。1970年由蘇聯數學家尤裡·馬季亞謝維奇證明。第11題代數系數之二次形式部分解決有理數的部分由哈塞於1923年解決。第12題一般代數數域的阿貝爾擴張部分解決埃裡希·赫克於1912年用希爾伯特模形式研究了實二次域的情形。虛二次域的情形用復乘理論已基本解決。一般情況下則尚未解決。第13題以二元函數解任意七次方程未解決1957年蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫和弗拉基米爾·阿諾爾德證明對於單值解析函數，答案是否定的；然而希爾伯特原本可能希望證明的是代數函數的情形，因此該問題未獲得完全解答。第14題證明一些函數完全系統（Complete system of functions）之有限性已解決答案：否。1959年日本人永田雅宜提出反例。第15題舒伯特演算之嚴格基礎部分解決一部分在1938年由范德瓦爾登得到嚴謹的證明。段海豹和趙學志宣稱該問題實際已解決[2]。第16題代數曲線及表面之拓撲結構未解決此問題進展緩慢，即使對於度為8的代數曲線也沒有證明。第17題把有理函數寫成平方和分式已解決答案：是。1927年埃米爾·阿廷解決此問題，並提出實封閉域。[3][4]第18題非正多面體能否密鋪空間、球體最緊密的排列已解決1911年比伯巴赫做出“n維歐氏幾何空間只允許有限多種兩兩不等價的空間群”；萊因哈特證明不規則多面體亦可填滿空間；托馬斯·黑爾斯於1998年提出了初步證明，並於2014年8月10日用計算機完成了開普勒猜想的形式化證明，證明球體最緊密的排列是面心立方和六方最密兩種方式。第19題拉格朗日系統（Lagrangian）之解是否皆可解析已解決答案：是。1956年至1958年恩尼奧·德喬吉和約翰·福布斯·納什分別用不同方法證明。第20題所有邊值問題是否都有解已解決實際上工程和科研中遇到的邊值問題都是適定的，因而都可以確定是否有解。[5]第21題證明有線性微分方程有給定的單值群（monodromy group）已解決此問題的答案取決於問題的表述：部分情況下是肯定的，部分情況下則是否定的。第22題將解析關系（analytic relations）以自守函數一致化部分解決1904年由保羅·克伯和龐加萊取得部分解決。詳見單值化定理。第23題變分法的長遠發展開放性問題包括希爾伯特本人、昂利·勒貝格、雅克·阿達馬等數學家皆投身於此。理查德·貝爾曼提出的動態規劃可作為變分法的替代。

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