这是什么？NP问题解决了么？

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第 2 楼 / 中华龙

问题解决进度

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以下列出希尔伯特的23个问题，各问题的解答状况可参见各问题条目。

#主旨进展说明第1题连续统假设部分解决1963年美国数学家保罗·柯恩以力迫法证明连续统假设不能由策梅洛-弗兰克尔集合论（无论是否含选择公理）推导。也就是说，连续统假设成立与否无法由ZF/ZFC确定。第2题算术公理之相容性部分解决库尔特·哥德尔在1931年证明了哥德尔不完备定理，根岑在1936年证明了一阶算术系统（即皮亚诺算术系统）是自洽的。但这些定理是否已回答了希尔伯特的原始问题，数学界没有共识。第3题两四面体有相同体积之证明法已解决答案：否。1900年，希尔伯特的学生马克斯·登以一反例证明了是不可以的。第4题建立所有度量空间使得所有线段为测地线部分解决此问题被英国数学史学家杰雷米·格雷（Jeremy Gray）认为过于隐晦。最早的公认解法由苏联数学家阿列克谢·波戈雷洛夫（Алексей Васильевич Погорелов）提出。第5题所有连续群是否皆为可微群部分解决1953年日本数学家山边英彦证明在无“小的子群”情况下，答案是肯定的[1]；但此定理是否已回答了希尔伯特的原始问题，数学界仍有争论（因为希尔伯特那个年代没有“流形”的概念）。第6题公理化物理部分解决希尔伯特后来对这个问题进一步解释，而他自己也进一步研究这个问题。柯尔莫哥洛夫对此也有贡献。然而，尽管公理化已经开始渗透到物理当中，量子力学中仍有至今不能逻辑自洽的部分（如量子场论），故该问题未完全解决。但也有争论认为，希尔伯特所说的“物理”一词并不包含在当时尚未发现的量子力学等理论。第7题若b是无理数、a是除0、1之外的代数数，那么ab是否超越数已解决答案：是。分别于1934年、1935年由苏联数学家亚历山大·格尔丰德与德国数学家特奥多尔·施耐德独立地解决。第8题黎曼猜想及哥德巴赫猜想和孪生素数猜想未解决虽然分别有比较重要的突破和被解决的弱化情况，三个问题均仍未被解决。第9题任意代数数域的一般互反律部分解决1927年德国的埃米尔·阿廷证明在阿贝尔扩张的情况下答案是肯定的；此外的情况则尚未证明。第10题不定方程可解性已解决答案：否。1970年由苏联数学家尤里·马季亚谢维奇证明。第11题代数系数之二次形式部分解决有理数的部分由哈塞于1923年解决。第12题一般代数数域的阿贝尔扩张部分解决埃里希·赫克于1912年用希尔伯特模形式研究了实二次域的情形。虚二次域的情形用复乘理论已基本解决。一般情况下则尚未解决。第13题以二元函数解任意七次方程未解决1957年苏联数学家柯尔莫哥洛夫和弗拉基米尔·阿诺尔德证明对于单值解析函数，答案是否定的；然而希尔伯特原本可能希望证明的是代数函数的情形，因此该问题未获得完全解答。第14题证明一些函数完全系统（Complete system of functions）之有限性已解决答案：否。1959年日本人永田雅宜提出反例。第15题舒伯特演算之严格基础部分解决一部分在1938年由范德瓦尔登得到严谨的证明。段海豹和赵学志宣称该问题实际已解决[2]。第16题代数曲线及表面之拓扑结构未解决此问题进展缓慢，即使对于度为8的代数曲线也没有证明。第17题把有理函数写成平方和分式已解决答案：是。1927年埃米尔·阿廷解决此问题，并提出实封闭域。[3][4]第18题非正多面体能否密铺空间、球体最紧密的排列已解决1911年比伯巴赫做出“n维欧氏几何空间只允许有限多种两两不等价的空间群”；莱因哈特证明不规则多面体亦可填满空间；托马斯·黑尔斯于1998年提出了初步证明，并于2014年8月10日用计算机完成了开普勒猜想的形式化证明，证明球体最紧密的排列是面心立方和六方最密两种方式。第19题拉格朗日系统（Lagrangian）之解是否皆可解析已解决答案：是。1956年至1958年恩尼奥·德乔吉和约翰·福布斯·纳什分别用不同方法证明。第20题所有边值问题是否都有解已解决实际上工程和科研中遇到的边值问题都是适定的，因而都可以确定是否有解。[5]第21题证明有线性微分方程有给定的单值群（monodromy group）已解决此问题的答案取决于问题的表述：部分情况下是肯定的，部分情况下则是否定的。第22题将解析关系（analytic relations）以自守函数一致化部分解决1904年由保罗·克伯和庞加莱取得部分解决。详见单值化定理。第23题变分法的长远发展开放性问题包括希尔伯特本人、昂利·勒贝格、雅克·阿达马等数学家皆投身于此。理查德·贝尔曼提出的动态规划可作为变分法的替代。

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