數學猜想的羅生門 zt

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[ 2018-07-14 15:04:23 | By: onesky ]

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數學猜想的羅生門

　　十幾年來，沒有哪一屆國際數學家大會，能像8月22日將在西班牙馬德裡召開的2006年國際數學家大會(ICM2006)這樣引人注目。

　　早在幾個月前，ICM2006的網站上，就貼出了這樣的消息:“一個有100年歷史的數學難題的證明，將在本屆大會上宣布。”盡管做出欲說還休的姿態，但看一眼會議的日程表——8月22日17:15至18:15，裡查德·漢密爾頓(RichardHamilton)，題目:龐加萊猜想。答案，已經無需再言。

　　一位數學史家曾經如此形容1854年出生的亨利·龐加萊(HenriPoincare):“有些人仿佛生下來就是為了證明天才的存在似的，每次看到亨利，我就會聽見這個惱人的聲音在我耳邊響起。”龐加萊作為數學家的偉大，並不完全在於他解決了多少問題，而在於他曾經提出過許多具有開創意義、奠基性的大問題。龐加萊猜想，就是其中的一個。

　　1904年，龐加萊在一篇論文中提出了一個看似很簡單的拓撲學猜想:在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點，那麼這個空間一定是一個三維的圓球。提出這個猜想後，龐加萊一度認為，自己已經證明了它。但沒過多久，證明中的錯誤就被暴露了出來。於是，拓撲學家們開始了證明它的努力。

　　20世紀30年代以前，龐加萊猜想的研究只有零星幾項。但突然，英國數學家懷特黑德(Whitehead)對這個問題產生了濃厚興趣。他一度聲稱自己完成了證明，但不久就撤回了論文。失之桑榆、收之東隅的是，在這個過程中，他發現了三維流形的一些有趣的特例，而這些特例，現在被統稱為懷特黑德流形。

　　50年代到60年代之間，又有一些著名的數學家宣稱自己解決了龐加萊猜想，著名的賓(R.Bing)、哈肯(Haken)、莫伊澤(Moise)和帕帕奇拉克普羅斯(Papa-kyriakopoulos)均在其中。帕帕奇拉克普羅斯是1964年的維布倫獎得主，一名希臘數學家。因為他的名字超長超難念，大家都稱呼他“帕帕”(Papa)。在1948年以前，帕帕一直與數學圈保持一定的距離，直到被普林斯頓大學邀請做客。帕帕以證明了著名的“迪恩引理”(Dehn'sLemma)而聞名於世，喜好舞文弄墨的數學家約翰·米爾諾(JohnMilnor)曾經為此寫下一段打油詩:“無情無義的迪恩引理/每一個拓撲學家的天敵/直到帕帕奇拉克普羅斯/居然證明得毫不費力。”然而，這位聰明的希臘拓撲學家，卻折在了龐加萊猜想的證明上。在普林斯頓大學流傳著一個故事。直到1976年去世前，帕帕仍在試圖證明龐加萊猜想，臨終之時，他把一疊厚厚的手稿交給了一位數學家朋友，然而，只是翻了幾頁，那位數學家就發現了錯誤，但為了讓帕帕安靜地離去，最後選擇了隱忍不言。

　　這一時期拓撲學家對龐加萊猜想的研究，雖然沒能產生他們所期待的結果，但是，卻因此發展出了低維拓撲學這門學科。

　　一次又一次嘗試的失敗，使得龐加萊猜想成為出了名難證的數學問題之一。然而，因為它是幾何拓撲研究的基礎，數學家們又不能將其撂在一旁。這時，事情出現了轉機。

　　1966年菲爾茨獎得主斯梅爾(Smale)，在60年代初想到了一個天才的主意:如果三維的龐加萊猜想難以解決，高維的會不會容易些呢？1960年到1961年，在裡約熱內盧的海濱，經常可以看到一個人，手持草稿紙和鉛筆，對著大海思考。他，就是斯梅爾。1961年的夏天，在基輔的非線性振動會議上，斯梅爾公布了自己對龐加萊猜想的五維和五維以上的證明，立時引起轟動。

　　10多年之後的1983年，美國數學家福裡德曼(Freedman)將證明又向前推動了一步。在唐納森工作的基礎上，他證出了四維空間中的龐加萊猜想，並因此獲得菲爾茨獎。但是，再向前推進的工作，又停滯了。拓撲學的方法研究三維龐加萊猜想沒有進展，有人開始想到了其他的工具。瑟斯頓(Thruston)就是其中之一。他引入了幾何結構的方法對三維流形進行切割，並因此獲得了1983年的菲爾茨獎。

　　然而，龐加萊猜想，依然沒有得到證明。

　　人們在期待一個新的工具的出現。

　　“就像費馬大定理，當谷山志村猜想被證明後，盡管人們還看不到具體的前景，但所有的人心中都有數了。因為，一個可以解決問題的工具出現了。”

清華大學數學系主任文志英說。

　　可是，解決龐加萊猜想的工具在哪裡？

　　工具有了

　　裡查德·漢密爾頓，生於1943年，比丘成桐大6歲。雖然在開玩笑的時候，丘成桐會戲謔地稱這位有30多年交情、喜歡沖浪、旅游和交女朋友的老友“Playboy”，但提起他的數學成就，卻只有稱贊和惺惺相惜。

　　1972年，丘成桐和李偉光合作，發展出了一套用非線性微分方程的方法研究幾何結構的理論。丘成桐用這種方法證明了卡拉比猜想，並因此獲得菲爾茨獎。1979年，在康奈爾大學的一個討論班上，當時是斯坦福大學數學系教授的丘成桐見到了漢密爾頓。“那時候，漢密爾頓剛剛在做Ricci流，別人都不曉得，跟我說起。我覺得這個東西不太容易做。沒想到，1980年，他就做出了第一個重要的結果。”丘成桐說，“於是，我跟他講，可以用這個結果來證明龐加萊猜想，以及三維空間的大問題。”

　　Ricci流，以

意大利數學家GregorioRicci命名的一個方程。用它可以完成一系列的拓撲手術，構造幾何結構，把不規則的流形變成規則的流形，從而解決三維的龐加萊猜想。看到這個方程的重要性後，丘成桐立即讓跟隨自己的幾個學生跟著漢密爾頓研究Ricci流。其中，就包括他的第一個來自中國大陸的學生曹懷東。

　　第一次見到曹懷東，是在超弦大會丘成桐關於龐加萊猜想的報告上。雖然那一段時間，幾乎所有的媒體都在找曹懷東，但穿著件顏色鮮艷的大T恤的他，在會場裡走了好幾圈，居然沒有人認出。這也難怪。絕大多數的數學家，依然是遠離公眾視線的象牙塔中人，即使是名動天下如威滕(Witten)，坐在後排，儼然也是大隱隱於市的模樣。

　　1982年，曹懷東考取丘成桐的博士。1984年，當丘成桐轉到加州大學聖迭戈分校任教時，曹懷東也跟了過來。但是，他的絕大多數時間，是與此時亦從康奈爾大學轉至聖迭戈分校的漢密爾頓“泡在一起”。這時，丘成桐的4名博士生，全部在跟隨漢密爾頓的研究方向。其中做得最優秀的，是施皖雄。他寫出了很多非常漂亮的論文，提出很多好的觀點，可是，因為個性和環境的原因，在沒有拿到大學的終身教職後，施皖雄竟然放棄了做數學。提起施皖雄，時至今日，丘成桐依然其辭若有憾焉。一種雖然於事無補但惹人深思的假設是，如果，當時的施皖雄堅持下去，今天關於龐加萊猜想的故事，是否會被改寫？

　　在使用Ricci流進行空間變換時，到後來，總會出現無法控制走向的點。這些點，叫做奇點。如何掌握它們的動向，是證明三維龐加萊猜想的關鍵。在借鑒了丘成桐和李偉光在非線性微分方程上的工作後，1993年，漢密爾頓發表了一篇關於理解奇點的重要論文。便在此時，丘成桐隱隱感覺到，解決龐加萊猜想的那一刻，就要到來了。

　　1995年，丘成桐來到北京。這次，跟他一起來的，還有漢密爾頓。做演講的時候，丘成桐提出了口號，向漢密爾頓學習。隨後，又在新建的晨興數學中心，開設了關於Ricci流的討論班。當時在中山大學的朱熹平，便在這段時間跟了上來。

　　朱熹平最早的研究方向，是與Ricci流關系並不大的偏微分方程。但是，遇到丘成桐後，他開始轉型。“那段時間很痛苦的，幾乎沒什麼文章出來。”朱熹平說，“幸好中山大學的制度，工資高，收入只有很少一部分與課題基金和論文掛鉤，這才堅持下來。”在報章一度的渲染中，專心研究Ricci流和三維龐加萊猜想的朱熹平，被描述為幾年沒有論文發表。問及此事，朱熹平哈哈一笑:“我有那麼差嗎？”事實上，在很短的時間內，他就完成了轉型，而且在《數學發明》等著名數學專業雜志上，也先後發表過多篇文章。

　　漢密爾頓提出的Ricci流，實際上可以分為兩類。一種是在實流形上作的實Ricci流，它與三維龐加萊猜想的證明密切相關，另一種是在復流形上作的復Ricci流，它有很多重要的應用，但與龐加萊猜想無關。最早跟隨漢密爾頓進行Ricci流研究的曹懷東，主要的方向，其實是復Ricci流。丘成桐的其他一些弟子也不例外。直到後期，部分人才開始轉到實Ricci流的方向。後轉型的朱熹平，因為用功、投入和耐心，沒過多久，就成為國內做實Ricci流最出色的數學家，而他的實幹與低調，也贏得了丘成桐格外的青睞。

　　然而，盡管曹懷東、朱熹平以及朱的學生陳兵龍在Ricci流的研究上取得了很多進展，但是，無論是漢密爾頓還是他們，幾經周折，都沒能找出解決奇點的好辦法。隨著拓撲手術次數的增加，奇點也會遞增，最終失去控制。幾年的時間裡，在這個最關鍵的問題上，研究幾乎停滯了。

　　就在關於Ricci流的工作陷入山重水復疑無路的情形持續了幾年之後，遠在聖彼得堡的一位特立獨行的大胡子數學家，卻在幾乎不為外界所知的半隱居中，找到了解決問題的柳暗花明又一村。

　　格裡沙！

　　2002年11月12日，當時在麻省理工學院數學系任教授的田剛在信箱中看到一封顯示發件人為“格利高裡·佩雷爾曼”(Grigori Perelman)的郵件。

　　標題:新的預印本

　　親愛的田，

　　可否請你關注我發表在arXiv數學網站上的論文，DG 0211159。

　　摘要:我們提出了一個Ricci流的單調式，在所有的維度中成立且無需曲率假設……我們還驗證了與理查德·漢密爾頓關於瑟斯頓封閉三維流形幾何化猜想證明的綱領相關的一些假設，使用先前關於局部曲率下界的塌陷結果，給出了對這一猜想的證明概要。

　　格裡沙·佩雷爾曼

　　三天之後的晚上，田剛寫下了這封回信。

　　標題:回復:新的預印本

　　親愛的格裡沙，我正在閱讀你的論文。很有意思。你是否願意訪問MIT並就這一工作做幾個演講？

　　田剛

　　佩雷爾曼的全名，是格利高裡·雅科夫列維奇·佩雷爾曼，但熟悉的人，通常都叫他格裡沙。生於1966年的佩雷爾曼，中學時就讀的是著名的聖彼得堡第239中，這所學校，一向以高等數學和物理教學聞名。1982年，作為一名高中學生，佩雷爾曼參加了國際數學奧林匹克競賽，並以滿分的成績獲得金牌。此後，他在聖彼得堡大學獲得了博士學位，接著在斯特科洛夫研究所(SteklovInstitute ofMathematics)謀得職位。1992年秋天，佩雷爾曼前往美國紐約大學庫朗研究所訪問，隨後，又於1993年春天，到了紐約州立大學的石溪分校。就是在這期間，當時就職於庫朗研究所的田剛認識了佩雷爾曼。

　　田剛回憶道，那時候，佩雷爾曼的研究方向，並不是幾何分析和Ricci流，而是度量幾何。“他的思路很敏捷，做東西技術性和技巧性很強，而且很嚴謹。”1994年，在加州大學伯克利分校任職米勒訪問學者(MillerFellow)時，佩雷爾曼證明了著名的靈魂猜測(SoulConjecture)，為他贏得了國際聲譽。此外，他還曾被邀請在國際數學家大會上做報告。大約在1994年左右，漢密爾頓到庫朗研究所作了一個關於Ricci流的報告，佩雷爾曼也是聽眾之一。“讓大家都有點驚訝的是，他居然提了一個關於奇點的問題”——如何解決手術過程中產生的奇點，正是證明龐加萊猜想中的關鍵一步——“現在看來，那個時候，佩雷爾曼就應該已經對解決龐加萊猜想產生了興趣。”田剛說。

　　在米勒訪問學者期滿後，佩雷爾曼回到聖彼得堡，繼續“安靜地”任職於斯特科洛夫研究所。有一次，田剛遇到一位當時曾與佩雷爾曼共事的數學家，向他打聽佩雷爾曼的近況。得到的消息是，佩雷爾曼幾乎已經離群索居，沒人知道他在做些什麼。然後，就到了2002年11月。就像阿拉丁神燈中的神仙一樣，佩雷爾曼現身了，而且，帶著有可能是正確的龐加萊猜想的證明論文。

　　佩雷爾曼的第一篇論文，發表在arXiv網站上。這是一個著名的學術論文網站，最開始的用戶多為物理學家，隨後，數學家們也紛紛在上面發表自己的論文預印本，以供同行參照評議。不過，通常而言，發表在arXiv網站上的文章不被認為是正式發表的學術論文。

　　建立一個關鍵的橢圓形估計，應用粗細分解，來給出瑟斯頓幾何化猜測的證明，這被認為是佩雷爾曼的“神來之筆”。在隨後發表於網上的第二篇論文中，佩雷爾曼給出了更多的證明細節。看過論文的田剛，益發認識到這項工作的重要性。而“幾乎是幸運的”，2002年12月3日，佩雷爾曼給田剛回了信，表示願意到麻省理工學院演講。

　　在一般的描述中，佩雷爾曼是一個怪人:胡子頭發都很長，不修邊幅，衣服經常很久不洗。今年40歲的他，至今單身，與母親生活在一起。因為父親去世早，佩雷爾曼事母至孝，又一種說法是，當時他在美國，曾經有很多學校邀請他任教，但佩雷爾曼堅持回國，原因就是牽掛母親。2003年訪問麻省理工學院時，他的條件之一，就是要攜母同行。

　　不過，在田剛的眼中，佩雷爾曼的“怪”，只是遠離物質化和名利世界的一種表現。在討論學術問題時，他和最嚴謹的數學家一樣，願意就每一個細節認真地回答。2003年的4月7日、9日和11日，佩雷爾曼在麻省理工學院作了3個演講，除此以外，在兩周的訪問時間裡，他還作了一系列報告，時間超過20個小時，非常仔細地回答每一個問題。這時候，龐加萊猜想被證明的消息，開始流傳出去，《紐約時報》和“數學世界”(MathWorld)網站都刊登了相應的消息。

　　然而，就是在麻省理工學院的講座後，有數學家表示，佩雷爾曼的文章存在“gaps”(漏洞)，無法讀通。就在所有人都期待佩雷爾曼就此作出解釋，補全文章的細節之時，佩雷爾曼卻不置一詞，翩如驚龍，自此隱居不出。兩篇文章放在網上，3年多來，沒有顯示任何准備交由學術雜志發表的跡象。這給曾規定，必須在學術刊物上發表論文才有資格被頒給千年數學問題獎金的克雷數學研究所，出了個不大不小的難題。在接受本刊記者采訪時，克雷所所長卡爾森表示，不排除為此修改規定的可能。

　　可是，佩雷爾曼會接受這筆獎金嗎？最近的消息，是他因為不願參與江湖中的名利之爭，已經從斯特科洛夫研究所辭職，靠著10年前在美國訪問時的積蓄維生，躲起來思考另一個大問題。因為佩雷爾曼曾經拒絕領取歐洲數學會頒發的一個獎項，很多人懷疑，菲爾茨獎和克雷所的百萬懸賞，都未必能打動這個世外高人的心。

　　三駕馬車

　　如果把龐加萊猜想比作一局棋，在漢密爾頓和佩雷爾曼下完最關鍵的幾步後，余下的，已經是收官的工作。

　　不能說這個工作不重要。“高手或許一步可以看到7步後的變化，棋藝稍遜的人或許只能看到2步，剩下的5步，就是gaps。”普林斯頓大學數學系的一位教授說，“只有完完整整把每一步的走法寫下來，才能算是一個完整的證明。”

　　而在丘成桐看來，需要做的工作，可能比補上缺失的幾步還要多。“一篇論文，從2002年放到現在，3年半的時間，為什麼一直沒有人站出來說看得懂？關鍵是其中還有很多問題沒有解決。”他認為的關鍵問題，是幾何化猜想，而天降大任於斯人的對象，就是朱熹平和曹懷東。

　　2005年5月中旬，為了紀念一年前剛剛去世的陳省身先生，丘成桐在哈佛大學組織了一個微分幾何的研討會。朱熹平也被邀請參加這個會議。會議間隙，丘成桐問朱熹平:“做得怎麼樣了？”

　　“基本上完成了，可是要到暑假的時候才能全部寫出來。”

　　丘成桐當即決定:“你來哈佛，專門講這個問題。”經哈佛數學系教授表決同意，這一年9月，朱熹平來到了哈佛，向這一領域的專家講解他和曹懷東的證明論文。每周講3個小時，一共講了70多個小時，這些內容與曹懷東的研究結果匯集整理之後，就是後來發表在《亞洲數學雜志》上的328頁的《龐加萊猜想和幾何化猜想的完全證明——漢密爾頓-佩雷爾曼Ricci流理論的應用》(AComplete Proof of the Poincar and Geometrization Conjectures -application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow)。

　　《亞洲數學雜志》是丘成桐主編的一本相對比較年輕的雜志。與公認排名前四的《美國數學年刊》、德國的《數學發明》、《美國數學會雜志》和瑞典的《數學學報》相比，分量上的確稍顯不足。而且，《亞洲數學雜志》的兩名編委，斯瑞尼瓦斯(Srinivas)和普拉薩德(Prasad)在論文發表後寫給編委會的郵件中也指出過一些問題:比如，最終發表論文的題目與最初征詢編委同意時的題目不一致;直到雜志出版後近半個月的6月13日，雜志全文仍無法下載，與以往慣例不符;論文的審稿沒有遵循復雜的程序，留給編委評論的時間也只有3天。之所以會存在這些問題，丘成桐的解釋是——“競爭”。雖然在程序上或有可商榷之處，但丘成桐敢於用自己的學術聲譽為朱熹平和曹懷東的工作擔保:“完完整整，每一步寫得清清楚楚，第一次給出了全部的證明，可以用來做教科書。”在接受《科學時報》記者采訪時，丘成桐說。而漢密爾頓，則給出了如下的評價:“曹懷東與朱熹平最近在佩雷爾曼與前人的工作基礎上，給出了關於龐加萊猜想證明的一個完整與詳細的描述。我很高興這兩位Ricci流領域裡的傑出學者所寫的這篇文章。他們引入了自己的新思想，使得證明變得更容易理解。”

　　的確，競爭是激烈的。就在《亞洲數學雜志》6月號出版前的5月25日，密歇根大學的布魯斯·克萊納(BruceKleine)和約翰·洛特(John Lott)，把名為“佩雷爾曼論文注記”(Notes on Perelman'sPapers)的192頁文章放到了arXiv網站上。這是對他們2004年關於佩雷爾曼部分工作的注記的修改和補充。

　　比這再早一些時間，2004年9月，田剛和哥倫比亞大學的拓撲學家約翰·摩根(JohnMorgan)決定合作，在田剛之前給學生開討論班研讀佩雷爾曼論文時留下的筆記的基礎上，撰寫一部關於龐加萊猜想的書。這部書稿，得到了克雷數學研究所的著述專項資助(BookFellow)。2006年5月，摩根和田剛合作完成的書稿提交給了克雷數學研究所，並在7月25日把這本473頁的書放到了arXiv網站上。而此時，國際數學家大會已確定，將由摩根在8月24日作一個關於龐加萊猜想的公眾報告。

　　3個小組，3駕馬車，彼此的差異在哪裡？在接受本刊記者采訪時，摩根說:“2004年8、9月間，我和克萊納、洛特以及田剛和其他一些人共同參加了一次學術會議。我們研讀了佩雷爾曼的第二篇文章。這之後，我認為，我們彼此都覺得佩雷爾曼了解問題所在。我和田剛對龐加萊猜想感興趣，並且給出了我們認為的完整的證明，而克萊納和洛特、曹懷東和朱熹平的文章，關心的是整個幾何化猜想的問題，並把問題的范圍縮小到Shioya-Yamaguchi的工作的范圍內。而這項工作，反過來要借助佩雷爾曼自1990年以來未發表的文章。我的感覺是，在最後幾步中所引用的數據，可能需要進行更徹底細致的檢查。”不過，在克雷研究所所長卡爾森的眼中，事情，也許並沒有那麼復雜。“克萊納和洛特，曹懷東和朱熹平，摩根和田剛，3個小組中的每一個都對檢驗佩雷爾曼的工作做出了重要的貢獻。能夠有3個獨立的數學家小組來做這件事，當然比只有一個小組要好得多了。”

　　而且，所有的競爭，仿佛只是讓佩雷爾曼最終獲得菲爾茨獎的成算，變得更大。

　　如果一切如普遍的預料，那麼，在數學論文日益冗長繁復的今日，佩雷爾曼將創下一個新的紀錄:可能為他贏來數學家最高榮譽的兩篇網上論文，分別只有22頁和39頁。

　　“大張旗鼓地面對一個眾人皆知的難題，將會冒很大的風險。”1982年的菲爾茨獎得主阿蘭·孔曾經在一篇論文的序言中如此寫道，“以後人們記住他的將是他的失敗，而不是別的。隨著年齡的增大，我認識到‘安全地’到達生命的終點是一種很好的自我保護的選擇。”對於在過去20年的時間裡一直致力於攀登數學世界裡的珠穆朗瑪峰——黎曼猜想——的阿蘭·孔來說，這段話，更像是一段幽默的自嘲。龐加萊猜想的故事，也許會在幾個星期、幾個月或者幾年內迎來一個圓滿的——或許也是出人意料的——結局，但它所開拓的疆域，和數學世界廣袤無垠充滿挑戰與樂趣的地平線，還將無窮無盡的向遠方延伸。

　　故事，永遠在繼續……-

　　(感謝《科學時報》王丹紅、易蓉蓉提供資料)

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