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英国数学家华林(E. Waring,1736-179
1. 每个大于 2 的偶数都是两个素数之和;
2. 每个奇数或者是一个素数,或者是三个素数之和。
一个标准的现代版本是这样的:
I. 每个不小于 6 的偶数都是两个奇素数之和;
II. 每个不小于 9 的奇数都是三个奇素数之和。
可以将它们写成下面的数学公式:
I. N = p1 + p2 , 当 N (≥ 6) 是偶数;
II.N=p1+p2+p3,当N(≥9)是奇数;
其中 pi 均为奇素数。
如果猜想 I 成立,那么对于奇数 N,我们可以将 N-3 表成两 个奇素数之和,因此猜想 II 就成立。也就是说,猜想 II 是 猜想 I 的推论。保留猜想 II 的一个原因是,可以使得猜想在 形式上关于奇数和偶数都有表述。
哥德巴赫猜想的表达形式简洁明了,体现了数学的优美感觉。 从乘法来看,素数是构成自然数的基本元素,在哥德巴赫猜想 中,将素数放到加法的环境里,实际上是刻画了加法和乘法的某种关系,而这两种运算在数学中是最基本和最常见的。
我们再从加法的角度,来看自然数的构成。如果将 1 重复地 相加,显然可以得到任何一个自然数,但这太没技术含量了。 稍微复杂一点,人们会尝试将一些特殊的数(比如素数)相 加,看能否得到任何一个自然数,这样就很有可能得到与哥 德巴赫猜想类似的结论。据说早在哥德巴赫之前,法国哲学 家和数学家笛卡儿(R. Descartes,1596-1650)在他的手稿 里就有“每个偶数是至多三个素数之和”这样的叙述。
在哥德巴赫猜想产生的过程中,伟大的欧拉实实在在地当了 一回配角。我们已经看到,对于费尔马数问题,欧拉表现出了精湛的数学功力,但对于哥德巴赫猜想,欧拉却没有提出任何有价值的意见。这并不意味着欧拉对此没有兴趣或没有 深入思考,实际上他是深知这个问题的分量和难点所在的。
在欧拉那个时代,数学的主要工具是分析方法,主要研究对 象是连续的实数直线。而正整数在实数直线上是一些离散的 点,如何用处理连续对象的工具来研究离散情形,是一个非 常重要的课题。1737 年,欧拉提出了著名的乘积公式:当x > 1时,有
其中乘积中的 p 跑遍所有的素数。欧拉乘积公式开了用分析方法研究数论的先河,对于数论的发展影响非常重大。
在欧拉乘积公式中,令 x → 1 ,左边的级数
是发散的,因此,右面的乘积
不会是一个有限的数。由此可知,所有素数的个数不可能是有限的。这样,对于欧几里得关于素数个数无限的定理,我们就有了一个分析的证明。
然而在对于素数的认识方面,当时的人们并没有比欧几里得 走出多远。除了知道素数有无穷多个,再细致一点的信息就 不清楚了。比如,关于不超过 x 的素数个数,即
的一些基本性质,当时是很不清楚的。后来,高斯才对π(x) 的近似1公式有了一个猜想性的结果,而证明则是 1896年的事情了。
要弄清楚单个素数的变化,就已经如此之难,想要把两个或 三个素数的变化通过加法合在一起考虑,其难度可想而知。 虽然欧拉无法预料素数理论的发展,但他深知解决哥德巴赫 猜想已经远远超出他的能力之外。外行人不了解其中的深 浅,对于这样一个看似不太深奥的猜想,居然能使欧拉这样的顶级数学大师一筹莫展,他 们会感到很好奇。
优美的哥德巴赫猜想,让我们记住了香气飘逸的伊丽莎白女皇时代,而美轮美奂的叶卡捷琳娜宫,更使人对那个时代印象深刻。