拓撲與量子化 - 諾貝爾物理科普

2016-10-06 | 來源: yuedongxiao博客 | 轉到微信 | 有0人參與評論 | 字體: 放大縮小 | 收藏 | 打印

　　2016年諾貝爾物理學獎頒給了David J. Thouless （華盛頓大學）、F. Duncan M. Haldane（普林斯頓）、J. Michael Kosterlitz （布朗大學）三人。93萬美金獎金一半給了 Thouless，另一半則是後兩人分享。諾貝爾獎金數量取決於諾貝爾基金當年的收入。幾年前是1000萬瑞典克朗，現在降到了800萬。這三位諾獎獲得者的貢獻是把拓撲學運用於凝聚態物理。其中的 Thouless 用拓撲學解釋了整數量子霍爾效應，相關的方法被擴展到其他問題上，發現了很多奇特並且可能有極大應用前景的物理現象。相關的介紹文章很多，我就不重復了。這裡稍微介紹下拓撲與物理的關系（凝聚態物理中充斥著各種人名命名的概念，我這裡盡量少用術語）。

　　在量子霍爾效應中，霍爾電阻精確等於普朗克常數除以電子電荷的平方，准確到幾十億分之一。這個極其精確的電阻數字與樣本大小、磁場大小、樣本形狀、樣本的屬性都沒有關系，樣本粗糙、有一定的雜質效果甚至更好。這個顛撲不破的驚人精確度與實驗條件的隨意性困擾了物理學相當長時間。Thouless 用拓撲不變性從理論上解釋了這個問題。

　　諾貝爾委員會在介紹其成果時圖片如下，這可不是給與會人員發點心吃。

　　2-quantumcompu.jpg

　　

　　上圖是兩個食品有個基本的區別，一個有兩個孔，另一個只有一個。這兩個東西無論怎麼變形（但不能撕裂），其孔的數量 g 是不變的。這在數學裡叫做拓撲不變量。歐拉在很久以前發現，任意一個多面體的頂點數量 V，邊的數量 E，面的數量 F 有這個關系 V - E + F =2 。比如說一個立方面，有八個頂點 V=8，12 條邊，6個面， 8-12+6=2。你可以試試其他的多面體，都滿足這個關系。一個球面可以看成有兩個頂點，一個邊，一個面，2-1+1=2 （試試看）。如果是有 g 個孔的，那麼 V -E -F = 2- 2 g 。如下圖，有一個孔 V - E + F = 2- 2*1=0。有興趣的可以自己數數。讀者可能問，這有什麼特別嗎？特別的地方在於，無論把這個怎麼變形，這個數字只取決於孔的數量。比如說，你可以把下面這個六角環變成一個圓環的玉鐲形狀（Torus），一個頂點，兩個邊，一個面， 1-2+1=0.

　　

　　Hexagonal_torus.png

　　現在我們考慮另一個問題，如果我們在操場上圍著一個圓心跑一圈、回到出發點，我們繞了360度（2 pi）；但如果我們不是走圓形路徑，而是走一條彎路，最後回到出發點，那麼我們繞圓心轉了多少度呢？不管你是怎麼繞的，繞一圈就是360度，繞兩圈總共是720度。不管你如何走彎路，你可以把走的路分成很多小段，把每一段繞圓心變化的角度加起來，變成一個積分，結果肯定是 360度的整數倍，倍數是轉圈的數量。路徑變形（但保持圓心在路徑內），這個圈數不變。我們說，這個圈數是一個拓撲不變量。

　　類似的，圍繞一個球心的球面角度是.如果把球面變形，這個角度也是這個數字。對於有 g 個孔的情況，高斯有個普遍公式，對於一個光滑而且沒有邊界的面，曲率乘以面積的積分等於 4 PI 乘以 1-g.