马斯克的Grok-3证明了黎曼猜想？在数学界会比诺贝尔还轰动？

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Grok 3证明黎曼猜想？数学家称不夸张，两年内AI将解出千禧年难题 #

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辟谣：AI证明黎曼猜想？

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黎曼猜想（英语：Riemann hypothesis，RH）由德国数学家波恩哈德·黎曼於1859年提出。它是数学中一个重要而又著名的未解决的问题，有「猜想界皇冠」之称，多年来它吸引了许多出色的数学家为之绞尽脑汁。其猜想为：

黎曼ζ函数，

ζ(s)=11s+12s+13s+14s+⋯

。非平凡零点（在此情况下是指s

不为−2

、−4

、−6⋯

等点的值）的实数部份是12

。

未解决的数学问题：黎曼ζ函数的每个非平凡零点的实部是否同为12

？

黎曼猜想是关於黎曼ζ函数ζ(s)

的零点分布的猜想。黎曼ζ函数在任何複数s≠1

上有定义。它在负偶数上也有零点（例如，当s=−2,s=−4,s=−6,⋯

）。这些零点是「平凡零点」。黎曼猜想关心的是非平凡零点。

黎曼猜想提出：

黎曼ζ函数非平凡零点的实数部份是12

即所有的非平凡零点都应该位於直缐12+it

（“临界綫”）上。t

为一实数，而i

为虚数单位。沿临界綫的黎曼ζ函数有时通过Z-函数进行研究。它的实零点对应於ζ函数在临界綫上的零点。

素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都很重要。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼（1826－1866）发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。

1901年Helge von Koch指出，黎曼猜想与强条件的素数定理π(x)=Li⁡(x)+O(xln⁡x)

等价。现在已经验证了最初的1,500,000,000个素数对这个定理都成立。但是是否所有的解对此定理都成立，至今尚无人给出证明。

黎曼猜想之所以被认为是当代数学中一个重要的问题，主要是因为很多深入和重要的数学甚至是部分物理结果都能在它成立的大前提下得到证明。大部份数学家也相信黎曼猜想的正确性（约翰·恩瑟·李特尔伍德与阿特勒·塞尔伯格曾提出怀疑。塞尔伯格于晚年部分改变了他的怀疑立场。在1989年的一篇论文中，他猜测黎曼猜想对更广泛的一类函数也应当成立）。克雷数学研究所设立了$1,000,000美元的奬金给予第一个得出正确证明的人。

历史

黎曼ζ函数在临界缐Re(s)=12

上的实部（红色）和虚部（蓝色）。我们可以看到最起初的几个非平凡零点就位於Im(s)=±14.135,±21.022

和±25.011

上。

黎曼ζ函数实部与虚部的数值比较图，也就是Re(ζ(s))

vs. Im(ζ(s))

，沿著临界缐s=ti+12

，t

由0到34

黎曼1859年在他的论文《Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe》中提及了这个著名的猜想，但它并非该论文的中心目的，他也没有试图给出证明。黎曼知道ζ函数的不平凡零点对称地分布在直缐s=12+it

上，以及他知道它所有的不平凡零点一定位於区域0≤Re(s)≤1

中。

1896年，雅克·阿达马和Charles Jean de la Vallée-Poussin分别独立地证明了在直缐Re(s)=1

上没有零点。连同了黎曼对於不非凡零点已经证明了的其他特性，这显示了所有不平凡零点一定处於区域0<Re(s)<1

上。这是质数定理第一个完整证明中很关键的一步。

1900年，大卫·希尔伯特将黎曼猜想包括在他著名的23条问题中，与哥德巴赫猜想一起组成了希尔伯特名单上的第8号问题。同时黎曼猜想也是希尔伯特问题中唯一一个被收入克雷数学研究所的千禧年大奖难题的。希尔伯特曾说，如果他在沉睡1000年后醒来，他将问的第一个问题便是：黎曼猜想得到证明了吗？[1]

1914年，高德菲·哈罗德·哈代证明了有无限个零点在直缐Re(s)=12

上。然而仍然有可能有无限个不平凡零点位於其它地方（而且有可能是最主要的零点）。後来哈代与约翰·恩瑟·李特尔伍德在1921年及塞尔伯格在1942年的工作（临界缐定理）也就是计算零点在临界缐Re(s)=12

上的平均密度。

近年来的工作主要集中於清楚的计算大量零点的位置（希望藉此能找到一个反例）以及对处於临界缐以外零点数目的比例置一上界（希望能把上界降至零）[来源请求]。

黎曼猜想与质数定理

黎曼猜想传统的表达式隠藏了这个猜想的真正重要性。黎曼ζ函数与质数的分布有著深厚的连结。Helge von Koch在1901年证明了黎曼猜想等价於质数定理一个可观的犟化：给出任何ε>0

，我们有

|π(x)−∫0xdtln⁡(t)|=O(x1/2+ε),

式中π(x)

为质数计数函数，ln⁡(x)

为x

的自然对数，以及右手边用上了大O符号 [2]。一个由Lowell Schoenfeld提出的非近似版本，表示黎曼猜想等价於：|π(x)−∫0xdtln⁡(t)|<18πxln⁡(x),for all x≥2657

。

黎曼ζ函数的零点与质数满足一个称为明确公式的对偶性，这表明了：在调和分析的意义下，黎曼ζ函数的零点可视为质数分布的谐波。

将黎曼ζ函数代为更一般的L-函数，此时仍有相应的猜想：整体L-函数的非平凡零点的实部必等於1/2

。这被称为广义黎曼猜想。函数域上的广义黎曼猜想已被证明，数域的情形仍悬而未决。

黎曼猜想之结果及其等价命题

黎曼猜想的实际用途包括一些在黎曼猜想成立前提底下能被证明为真的命题，当中有些更被证明了跟黎曼猜想等价。其中一个就是以上素数定理误差项的增长率。

默比乌斯函数的增长率

其中一个命题牽涉了默比乌斯函数μ

。命题「等式

1ζ(s)=∑n=1∞μ(n)ns

在s

的实部大於12

的时候成立，而且右边项的和收敛」就等价於黎曼猜想。由此我们能够总结出假如Mertens函数的定义为

M(x)=∑n≤xμ(n)

那黎曼猜想就等价於对任何ε>0

都有

M(x)=O(x1/2+ε)

，

这将会对於M

的增长给出了一个更紧的限制，因为即使没有黎曼猜想我们也能得出

M(x)≠o(x12)

（关於这些符号的意思，见大O符号。）

积性函数增长率

黎曼猜想等价於一些除μ(n)

以外一些积性函数增长率的猜想。例如，因数函数σ(n)

由下式给出：

σ(n)=∑d∣nd

那在n>5040

的时候，

σ(n)<eγnln⁡ln⁡n

，

这名为Robin定理并在1984年以Guy Robin命名。另一个有关的上限在2002年由Jeffrey Lagarias提出，他证明了黎曼猜想等价於命题「对於任意自然数n

，

σ(n)≤Hn+ln⁡(Hn)eHn

而Hn

为第n

个调和数Hn:=1+12+…+1n

。

里斯判準与二项式系数和

里斯判準由里斯在1916年给出[3]，它断言黎曼猜想等价於下式对所有ϵ>0

成立

−∑k=1∞(−x)k(k−1)!ζ(2k)=O(x1/4+ϵ

哈代稍後於1918年以波莱尔求和法及梅林变换证明了下式的积分表法。

−∑k=1∞(−x)k(k−1)!ζ(2k)=f(x)

其它相关的积性函数的增长率也具有与黎曼猜想等价的表述。

考虑二项式系数和

ck=∑j=0k(−1)j(kj)1ζ(2j+2)

，

Báez-Duarte[4][5]与Flajolet、Brigitte Vallée[6]证明了黎曼猜想等价於对所有的ϵ>0

下式成立

ck≪k−3/4+ϵ

。

类似的还有以下级数

dk=∑j=2k(−1)j(kj)1ζ(j)

。

对此。Flajolet与Vepstas[7]证明了黎曼猜想等价於对所有的ϵ>0

下式成立

|dn|<Cϵn1/2+ϵ

其中的Cϵ

是依赖於ϵ

的某个常数。

韦伊判準、李判準

韦伊判準断言某些函数的正定性等价於广义黎曼猜想。与此相似的还有李判準，这断言某些数列的正性等价於黎曼猜想。

与法里数列的关系

另外唡个跟黎曼猜想等价的命题牽涉了法里数列。假如Fn

是法里数列中的第n

项，由1n

开始而终於11

，那命题「给出任何e>12

∑i=1m|Fn(i)−i/m|=O(ne)

」等价於黎曼猜想。在这里m=∑i=1nϕ(i)

是法里数列中n

阶项的数目。类似地等价於黎曼猜想的命题是「给出任何e>−1

.

∑i=1m(Fn(i)−i/m)2=O(ne)

」

跟群论的关系

黎曼猜想等价於群论中的一些猜想。举例说，g(n)

，是对称群Sn

的所有元素的秩之中，最大的一个，也就是兰道函数，则黎曼猜想等价於：对够大的n

，下式成立：

ln⁡g(n)<Li−1⁡(n)

。

临界线定理

黎曼猜想等价於命题「ζ(s)

的导函数ζ′(s)

在区域

0<Re(s)<12

上无零点。」函数ζ在临界缐上只有单零点的充要条件是其导函数在临界缐上非零。所以若黎曼猜想成立，命题中的非零区域可以延伸为0<Re(s)≤12

。这条进路带来了一些成果。Norman Levinson将此条件加细，从而得到了较犟的临界缐定理。

已否证的猜想

一些比黎曼猜想犟的猜想曾被提出，但它们有被否证的趋势。Paul Turan证明了假如级数

∑n=1Mn−s

当Re(s)>1

时没有零点，则黎曼猜想成立，但Hugh Montgomery证明了这前提并不成立。另一个更犟的默滕斯猜想也同样被否证。

相对弱的猜想

林德勒夫猜想

黎曼猜想有各种比较弱的结果；其中一个是由芬兰数学家恩斯特·列奥纳德·林德勒夫（Ernst Leonard Lindelöf）所提出，关於ζ函数於临界缐上的增长速度的猜想，表明了给出任意的e>0

，当t

趋向无限，

ζ(12+it)=O(te)

。

记第n

个素数为pn

，一个由英国数学家阿尔伯特·英厄姆(Albert Ingham)得出的结果显示，林德勒夫猜想将推导出「给出任意e>0

，对足够大的n

有

pn+1−pn<pn12+e

」

不过这个结果比大素数间隙猜想弱，详如下述。

大质数间隙猜想

另一个猜想是大质数间隙猜想。哈拉尔德·克拉梅尔证明了：假设黎曼猜想成立，质数p

与其後赍者之间的间隙将会为O(pln⁡p)

。平均来说，该间隙的阶仅为O(ln⁡p)

，而根据数值计算结果，它的增长率并不似黎曼猜想所预测的那么大。

证明黎曼猜想的尝试

过去的一百多年，许多数学家声称证明了黎曼猜想。截至2015年为止，尚有一些证明还未被验证；但它们都被数学社群所质疑，多数专家并不相信它们是正确的。艾希特大学的Matthew R. Watkins为这些或是严肃或是荒唐的证明编辑了一份列表[8]。其他一些证明可在arXiv数据库中找到。

2018年9月24日迈克尔·阿蒂亚爵士声称证明黎曼猜想[9]。他用精细结构常数作为一个主要成分用以证明，然而由於一个物理观测数字能否用於纯数学领域证明题产生争议，而精细结构常数本身的由来理由还是谜团，且该数字是否全宇宙永恆不变有重大疑问，阿蒂亚爵士则主张「数学是物理学的理想化版本」所以唡领域之间的学问可以共通共用。导致本次证明以疑虑和失败论点者居多无法使大部分数学家信服。[10]

黎曼猜想证明的可能的着手方向

由於黎曼猜想是有关二维变量（临界缐（critical line）上的虚数解和黎曼ζ函数中的自然数变量n

）的问题，故不但要考虑在二维变量下的情况，似乎还可以从更高维数（例如三或四维甚至更高维）变量的情况下来考虑问题。

另外，由於黎曼猜想从本质上来说是证明一个方程的非平凡的複数解必然是12+bi

的形式（b

是实数，i

是虚数单位），因此应该与代数学是密不可分的；就是说，代数几何、代数数论甚至代数拓扑等学科的知识是不可缺少的。如果能从上述几个分支学科之间找到新的联系，以及对这些分支学科有进一步的新发现，那可能可以为证明黎曼猜想打下基础，或为黎曼猜想的证明做好準备。

与算子理论的可能联系

主条目：希尔伯特-波利亚猜想

长久以来，人们猜测黎曼猜想的「正解」是找到一个适当的自伴算符，再由实特徵值的判準导出ζ(s)

零点实部的资讯。在此方向上已有许多工作，郄仍未有决定性的进展。

黎曼ζ函数的统计学性质与随机矩阵的特徵值有许多相似处。这为希尔伯特-波利亚猜想提供了一些支持。

在1999年，Michael Berry与Jon Keating猜想经典哈密顿函数H=xp

有某个未知的量子化H^

，使得下式成立

ζ(1/2+iH^)=0

更奇特的是，黎曼ζ函数的零点与算子1/2+iH^

的谱相同。正则量子化的情形则相反：正则量子化引致海森堡测不準原理[x,p]=1/2

，并使量子谐振子的谱为自然数。重点在於，所求的哈密顿算符应当是个闭自伴算符，方能满足希尔伯特-波利亚猜想之要求。

搜寻ζ函数的零点

ζ函数的绝对值。

关於电脑计算上找寻ζ函数零点越多越好的尝试，已经有一段很长的历史了。其中一个出名的尝试乃ZetaGrid，一个分散式计算的计划，一天可检查上十亿个零点。这计划在2005年11月终止。直至2006年没有计算计划成功找到黎曼猜想的一个反例，这一型类穷尽法的结果再次吻合了众多科学家在「直觉」上认知黎曼猜想为真的倾向，但不能成为最终数学证明。

2004年，Xavier Gourdon与Patrick Demichel透过Odlyzko-Schönhage algorithm验证了黎曼猜想的头十兆个非平凡零点。而Michael Rubinstein给了公众一个算法去算出零点。