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英國數學家華林(E. Waring,1736-179
1. 每個大於 2 的偶數都是兩個素數之和;
2. 每個奇數或者是一個素數,或者是三個素數之和。
一個標准的現代版本是這樣的:
I. 每個不小於 6 的偶數都是兩個奇素數之和;
II. 每個不小於 9 的奇數都是三個奇素數之和。
可以將它們寫成下面的數學公式:
I. N = p1 + p2 , 當 N (≥ 6) 是偶數;
II.N=p1+p2+p3,當N(≥9)是奇數;
其中 pi 均為奇素數。
如果猜想 I 成立,那麼對於奇數 N,我們可以將 N-3 表成兩 個奇素數之和,因此猜想 II 就成立。也就是說,猜想 II 是 猜想 I 的推論。保留猜想 II 的一個原因是,可以使得猜想在 形式上關於奇數和偶數都有表述。
哥德巴赫猜想的表達形式簡潔明了,體現了數學的優美感覺。 從乘法來看,素數是構成自然數的基本元素,在哥德巴赫猜想 中,將素數放到加法的環境裡,實際上是刻畫了加法和乘法的某種關系,而這兩種運算在數學中是最基本和最常見的。
我們再從加法的角度,來看自然數的構成。如果將 1 重復地 相加,顯然可以得到任何一個自然數,但這太沒技術含量了。 稍微復雜一點,人們會嘗試將一些特殊的數(比如素數)相 加,看能否得到任何一個自然數,這樣就很有可能得到與哥 德巴赫猜想類似的結論。據說早在哥德巴赫之前,法國哲學 家和數學家笛卡兒(R. Descartes,1596-1650)在他的手稿 裡就有“每個偶數是至多三個素數之和”這樣的敘述。
在哥德巴赫猜想產生的過程中,偉大的歐拉實實在在地當了 一回配角。我們已經看到,對於費爾馬數問題,歐拉表現出了精湛的數學功力,但對於哥德巴赫猜想,歐拉卻沒有提出任何有價值的意見。這並不意味著歐拉對此沒有興趣或沒有 深入思考,實際上他是深知這個問題的分量和難點所在的。
在歐拉那個時代,數學的主要工具是分析方法,主要研究對 象是連續的實數直線。而正整數在實數直線上是一些離散的 點,如何用處理連續對象的工具來研究離散情形,是一個非 常重要的課題。1737 年,歐拉提出了著名的乘積公式:當x > 1時,有
其中乘積中的 p 跑遍所有的素數。歐拉乘積公式開了用分析方法研究數論的先河,對於數論的發展影響非常重大。
在歐拉乘積公式中,令 x → 1 ,左邊的級數
是發散的,因此,右面的乘積
不會是一個有限的數。由此可知,所有素數的個數不可能是有限的。這樣,對於歐幾裡得關於素數個數無限的定理,我們就有了一個分析的證明。
然而在對於素數的認識方面,當時的人們並沒有比歐幾裡得 走出多遠。除了知道素數有無窮多個,再細致一點的信息就 不清楚了。比如,關於不超過 x 的素數個數,即
的一些基本性質,當時是很不清楚的。後來,高斯才對π(x) 的近似1公式有了一個猜想性的結果,而證明則是 1896年的事情了。
要弄清楚單個素數的變化,就已經如此之難,想要把兩個或 三個素數的變化通過加法合在一起考慮,其難度可想而知。 雖然歐拉無法預料素數理論的發展,但他深知解決哥德巴赫 猜想已經遠遠超出他的能力之外。外行人不了解其中的深 淺,對於這樣一個看似不太深奧的猜想,居然能使歐拉這樣的頂級數學大師一籌莫展,他 們會感到很好奇。
優美的哥德巴赫猜想,讓我們記住了香氣飄逸的伊麗莎白女皇時代,而美輪美奐的葉卡捷琳娜宮,更使人對那個時代印象深刻。