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皇冠上的明珠

2015-05-13 10:30:32
文章內容
皇冠上的明珠

關於哥德巴赫的生平,文獻中記載很少,即使是數學史專家, 也未必十分了解。莫裡斯 • 克萊因(Morris Kline)在他的名著《古今數學思想》第二冊第367頁上,稱哥德巴赫是“普魯士派往俄羅斯的一位公使”,這顯然是不對的。哥德巴赫 與歐拉的通信,有不少被保留下來,但信中的文字多是德文與拉丁文的混合體,讀起來相當困難。其中關於哥德巴赫猜 想的通信,早就被翻譯整理出來,但後來的數學家談到哥德巴赫猜想時,一般都采用標准的現代版本,很少引用原信。

然而,正如我們已經看到的那樣,哥德巴赫在當時的社會中, 是和各方面都有廣泛聯系的人物,關於他的研究會是一件有趣和有意義的事情。哥德巴赫的人生歷程,對於後來者也有 一定的借鑒意義。

我們已經講了哥德巴赫和他那個時代的一些事情,關於哥德巴赫猜想後來的發展,我們再來做一點簡單的介紹。
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youarewrong
無題
優美的哥德巴赫猜想

英國數學家華林(E. Waring,1736-179icon_cool.gif,在 1770 年出版 的《代數沉思錄》一書中,首次提出了如下形式的哥德巴赫猜想:


1. 每個大於 2 的偶數都是兩個素數之和;

2. 每個奇數或者是一個素數,或者是三個素數之和。



一個標准的現代版本是這樣的:


I. 每個不小於 6 的偶數都是兩個奇素數之和;

II. 每個不小於 9 的奇數都是三個奇素數之和。



可以將它們寫成下面的數學公式:



I. N = p1 + p2 , 當 N (≥ 6) 是偶數;

II.N=p1+p2+p3,當N(≥9)是奇數;

其中 pi 均為奇素數。


如果猜想 I 成立,那麼對於奇數 N,我們可以將 N-3 表成兩 個奇素數之和,因此猜想 II 就成立。也就是說,猜想 II 是 猜想 I 的推論。保留猜想 II 的一個原因是,可以使得猜想在 形式上關於奇數和偶數都有表述。

哥德巴赫猜想的表達形式簡潔明了,體現了數學的優美感覺。 從乘法來看,素數是構成自然數的基本元素,在哥德巴赫猜想 中,將素數放到加法的環境裡,實際上是刻畫了加法和乘法的某種關系,而這兩種運算在數學中是最基本和最常見的。

我們再從加法的角度,來看自然數的構成。如果將 1 重復地 相加,顯然可以得到任何一個自然數,但這太沒技術含量了。 稍微復雜一點,人們會嘗試將一些特殊的數(比如素數)相 加,看能否得到任何一個自然數,這樣就很有可能得到與哥 德巴赫猜想類似的結論。據說早在哥德巴赫之前,法國哲學 家和數學家笛卡兒(R. Descartes,1596-1650)在他的手稿 裡就有“每個偶數是至多三個素數之和”這樣的敘述。

在哥德巴赫猜想產生的過程中,偉大的歐拉實實在在地當了 一回配角。我們已經看到,對於費爾馬數問題,歐拉表現出了精湛的數學功力,但對於哥德巴赫猜想,歐拉卻沒有提出任何有價值的意見。這並不意味著歐拉對此沒有興趣或沒有 深入思考,實際上他是深知這個問題的分量和難點所在的。

在歐拉那個時代,數學的主要工具是分析方法,主要研究對 象是連續的實數直線。而正整數在實數直線上是一些離散的 點,如何用處理連續對象的工具來研究離散情形,是一個非 常重要的課題。1737 年,歐拉提出了著名的乘積公式:當x > 1時,有



其中乘積中的 p 跑遍所有的素數。歐拉乘積公式開了用分析方法研究數論的先河,對於數論的發展影響非常重大。

在歐拉乘積公式中,令 x → 1 ,左邊的級數



是發散的,因此,右面的乘積



不會是一個有限的數。由此可知,所有素數的個數不可能是有限的。這樣,對於歐幾裡得關於素數個數無限的定理,我們就有了一個分析的證明。

然而在對於素數的認識方面,當時的人們並沒有比歐幾裡得 走出多遠。除了知道素數有無窮多個,再細致一點的信息就 不清楚了。比如,關於不超過 x 的素數個數,即



的一些基本性質,當時是很不清楚的。後來,高斯才對π(x) 的近似1公式有了一個猜想性的結果,而證明則是 1896年的事情了。

要弄清楚單個素數的變化,就已經如此之難,想要把兩個或 三個素數的變化通過加法合在一起考慮,其難度可想而知。 雖然歐拉無法預料素數理論的發展,但他深知解決哥德巴赫 猜想已經遠遠超出他的能力之外。外行人不了解其中的深 淺,對於這樣一個看似不太深奧的猜想,居然能使歐拉這樣的頂級數學大師一籌莫展,他 們會感到很好奇。

優美的哥德巴赫猜想,讓我們記住了香氣飄逸的伊麗莎白女皇時代,而美輪美奐的葉卡捷琳娜宮,更使人對那個時代印象深刻。

2015-05-13 10:32:04 | 引用
Re: 皇冠上的明珠
嗯 這個帖子太深奧... icon_mrgreen.gif

2015-05-13 10:34:50 | 引用
seagirl
lynnzzm
Re: 皇冠上的明珠
seagirl 寫道:
嗯 這個帖子太深奧... icon_mrgreen.gif


你居然看完了? icon_eek.gif

2015-05-13 13:23:58 | 引用
Re: 皇冠上的明珠
lynnzzm 寫道:
seagirl 寫道:
嗯 這個帖子太深奧... icon_mrgreen.gif


你居然看完了? icon_eek.gif


准確地說,偶是讀完了 :lol: icon_mrgreen.gif

2015-05-13 13:27:29 | 引用
seagirl
lynnzzm
Re: 皇冠上的明珠
seagirl 寫道:
lynnzzm 寫道:
seagirl 寫道:
嗯 這個帖子太深奧... icon_mrgreen.gif


你居然看完了? icon_eek.gif


准確地說,偶是讀完了 :lol: icon_mrgreen.gif


看來你是個好學上進的孩子. icon_mrgreen.gif

2015-05-13 13:32:17 | 引用
Re: 皇冠上的明珠
lynnzzm 寫道:
seagirl 寫道:
lynnzzm 寫道:
你居然看完了? icon_eek.gif


准確地說,偶是讀完了 :lol: icon_mrgreen.gif


看來你是個好學上進的孩子. icon_mrgreen.gif


木用啦 腦子不靈光, 只會看字, 不明白說啥... yc_11.gif

2015-05-13 13:35:57 | 引用
seagirl
lynnzzm
Re: 皇冠上的明珠
seagirl 寫道:
lynnzzm 寫道:
seagirl 寫道:
准確地說,偶是讀完了 :lol: icon_mrgreen.gif


看來你是個好學上進的孩子. icon_mrgreen.gif


木用啦 腦子不靈光, 只會看字, 不明白說啥... yc_11.gif


偶對長貼子都沒耐心看下去. icon_redface.gif

2015-05-13 13:37:35 | 引用
Re: 皇冠上的明珠
lynnzzm 寫道:
seagirl 寫道:
lynnzzm 寫道:
看來你是個好學上進的孩子. icon_mrgreen.gif


木用啦 腦子不靈光, 只會看字, 不明白說啥... yc_11.gif


偶對長貼子都沒耐心看下去. icon_redface.gif


這個帖子還行, 至少還有分段, 和標點符號 yc_09.gif

2015-05-13 13:38:36 | 引用
seagirl
lynnzzm
Re: 皇冠上的明珠
seagirl 寫道:
lynnzzm 寫道:
seagirl 寫道:
木用啦 腦子不靈光, 只會看字, 不明白說啥... yc_11.gif


偶對長貼子都沒耐心看下去. icon_redface.gif


這個帖子還行, 至少還有分段, 和標點符號 yc_09.gif


你是每個貼子都看啊? icon_rolleyes.gif

2015-05-13 13:43:28 | 引用
Re: 皇冠上的明珠
lynnzzm 寫道:
seagirl 寫道:
lynnzzm 寫道:
偶對長貼子都沒耐心看下去. icon_redface.gif


這個帖子還行, 至少還有分段, 和標點符號 yc_09.gif


你是每個貼子都看啊? icon_rolleyes.gif


偶覺得看得多, 知道的也越多吧... :lol: :lol:

2015-05-13 13:44:11 | 引用
seagirl
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