[kiwaho]

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核科學領域一直缺乏一個現成的公式，用於估算放射性核材料的衰變熱。就算此領域的老專家，被問到1kg鈷60的熱功率時，恐怕等他/她半小時，也不一定可給出正確答案。

仲尼曰：“我欲載之空言，不如見之於行事之深切著明也”。現在，就來響應孔丘聖人之教誨，一步一步地將核衰變功率密度公式推導出來。

首先得有一個假設條件：核衰變釋放的能量，最終都能被材料塊自身以熱的形式吸收，除中微子能量不可吸收之外。這個條件雖然有點苛刻，但並不過分。

先來定義一批符號，及其適用單位量綱：

這些符號是最終所得公式中要用的：W = 功率密度(watt/kg)；A = 平均原子量；A0 = 指定同位素原子量；B = 元素家族內豐度，如經過提純，或該元素僅有一個穩定同位素，則B = 100%, A = A0；Q =衰變能量 (eV); T = 半命時間 (s)。

這些符號是推導過程要用的：amu = 單位原子量的質量 = 1.67*10^-27kg；eVj = 每電子伏特eV對應的焦耳數，即1.602*10^-19；N(t) = 殘余未衰變的核數量N，隨時間t變化的函數；N0 = 初態時的核數量。

顯然1kg材料含有的原子數大致 = 1/(A*amu)，其中指定同位素的原子個數 = B/(A*amu) = 初態的N0。

對衰變函數N(t) = N0 * e^(-t*ln2/T) 求導數，可得出未衰變核數量的遞減公式：

ΔN/Δt = -N0 * ln2/T * e^(-t*ln2/T) (1)

假設僅考慮比半命小得多的一段時間，即較“新鮮”的衰變過程t ≪ T，並代入N0的初始估計，則上式可簡化為：

ΔN/Δt = - (B/(A*amu)) * ln2/T

顯然，殘余未衰變核的減少過程，伴隨著放射能量的釋放。而1kg材料內的能量釋放速率，正是要推導的衰變熱密度：

W = |ΔE/Δt| = Q*eVj*ΔN/Δt = Q *eVj*B*ln2/(A*amu*T)，

合並所有常量後，上式精簡為：

W = 6.688*10^7 *B*Q/(A*T) (2)

上式對αγ兩種衰變輻射全部有效，僅有β輻射需要單獨修正，因為它伴隨著中微子釋放，而理論上講，這是平衡角動量，以及輕子數守恒的需要。

中微子帶走的能量，在本地是無法回收的，所以，不妨把它看作上帝對β核嬗變征收的“豪華消費稅”，“稅率”大約是40%。

至於大自然征收此能量稅有何用途，俗人只能猜測了：宇宙要膨脹、行星要自轉和公轉（參見我的行星內炙理論的文章）、光年級裡程的宇宙飛船UFO要遠征、智慧生命要聚焦熱中微子，點火人類尚未發明的清潔核反應堆、要滿足人類窺探行星內部奧秘的好奇心，等等，哪一項都要該稅收支出。

抵扣該稅收後，β核衰變的功率密度核定為：

W(β) = 4*10^7*B*Q/(A*T) (3)

有了上述公式後，此文標題所提問題可解了：

已知：鈷60Co的β核衰變Q = 2,822,810eV，T = 1925.28 days = 166,344,192s，A = 60。因考慮純核素，所以B = 1。

代入公式得到：W = 11,313 watt/kg = 11.3kw/kg。

這個有多火爆？不妨類比一下：電爐子一般1kw，一公斤鈷60相當於10台這樣的電爐子，永遠不關這批電爐子，持續5年多，才“折舊”掉一半的壽命，或者說用掉一半燃料！

可惜，馬力雖然火爆，但大批量制造60Co可不容易，代價高昂。將普通的59Co鈷金屬，放在商用核反應堆裡“煲”足夠長時間，需吸收足夠多熱中子，才能“孵化”出來。


而真要利用60Co的能量，也並非易事。其伴生伽瑪射線，穿透力很強，幾十厘米的鋼板不在話下。生命細胞在伽馬射線下不堪一擊。故而，根本沒有把60Co當作能源使用的先例，主要用於油田測井、集裝箱透射檢查等類似應用。

遙想當年，我所在的中原油田測井公司，丟失一批鈷60放射源，驚動了國務院。可悲的是：拾到此“寶貝”的當地農民，因好奇拆解而付出了生命代價！

因功率與質量成正比，對強放射物質，為避免大量發熱，需控制散料的臨界質量。

順帶打游擊，以此方便公式，算一些常見元素的功率密度。

鉀40K，B = 0.0117%，Q = Q(β) = 1.504MeV = 1,504,000 eV，T = 1.251*10^9 years = 3.94*10^16s，A = 40.96，算出W = 4.58*10^-9 watt/kg = 4.58nw/kg.

如果將40K提純，功率密度會放大很多倍，此時W = 38μw/kg，這是因為天然鉀含40K太低的緣故。可見無論是否提純，其功率密度仍然極低，小到沒有能源價值。

同樣可算出天然鈾的功率密度，只不過它是α輻射，無須抵扣中微子“稅”，得到的值比天然鉀大2140倍，即9.8μw/kg。這個輻射值對人體仍然是安全的，只要不長期接觸。

舉這些例子，既有天然存在的，也有需要人造的，目的是方便有經驗的人士，至少通過感性或經驗，判斷提煉出來的經驗數學公式是否靠譜。

為了使全球科學共同體受益，我已經將推導過程寫成英語論文，放置到預印本服務器上了：

Power Density Calculation Formula for Decay Based Nuclear Fuel or Battery

http://vixra.org/pdf/1704.0373v2.pdf

該論文比本博文涉及面要廣一些，例如此處未討論的相對功率密度等概念和公式。

歡迎將來改版的相關教科書，引用這一公式，敬請說明出處。

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