[三叔]

曹文雯兒童教育話題優秀回答者 大學數學不懂，請別邀請我…

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謝邀，已經有這麼多很好的回答了，默默地表示壓力很大……
而且它已經被我壓在草稿箱近半年了於是壓力就越來越大了……
還是趕在新一年之前給自己一個結束吧。

我想起前一陣子聽一個講座，說facebook創立之初，其實是個評選校花的小網站。
可是後來，它增加了各種各樣的功能。
然後變成了現在這樣。
你要是現在問，facebook的本質是什麼？是校花評選網站嗎？
大家會說，不是的。
校花評選網站是它的起點，不是它的本質。
正如“相同加數的加法的簡便運算”是乘法的起點一樣。


一個事情產生，然後因為某種原因發展
後來我們回顧總結，發現他原來是這樣。

這種“原來是這樣”的本質，我覺得這裡回答的各位都比我理解更深刻。
我個人比較感興趣的，通常不是“本質”的探討，而是“為什麼這樣發展”，“怎麼想到這樣做的”。
【所以其實我這一整篇都是跑題……但是我理解@陳浩 先生是想讓我貧一下這方面？所以冒昧地跑題一個長篇……
如果看到這個回答的您覺得跑題還是不好，就請幫忙點沒有幫助吧，謝謝。】

這個“怎麼想到要這樣的”，不是那麼“本質”，但是它從另一個角度利於引領人前進。

好比說，一個1級的新人在新手村著陸了。
這時候你跟他說，“這個游戲最牛的boss是哥德巴赫，打敗他就可以得到最強出裝”，他可能聽了這話之後無辜地瞪著大眼問你“出裝是什麼？能吃麼？”
以及當他問你“哥德巴赫怎麼走”的時候，你大手一揮，“去驛站坐飛機！”，他可能默默地打開錢袋，發現坐飛機需要的那種金幣他從來沒見過，銀幣對他已經是巨款了……

這種情況下，我們只好帶他腿兒著。一步一步地，走過我們當年走過、我們的前輩當年走過的路。同時告訴他，當初前輩們是怎麼發現這條路的，怎麼改進這條路的。然後我們期望有一天，他們可以接替我們，將這條路改進到更好。

我大學的老師說，作為老師，僅僅給學生看一座金碧輝煌的大廈是不夠的，更重要地是給學生看當初是怎麼一點點搭起腳手架，再拆掉。
大概是這個意思吧。
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偽·正題：

數學發展史上，實數乘法是怎麼一步步發展過來的
（個人觀點，僅供參考。我不記得看過哪些參考書了……也許有小時候我爸睡前故事的功勞？）

1、上帝說，要有光。人類說，要有食物。
於是有了食物。
人不止一個，食物分配不均，於是有了多少。
於是有了自然數。
加減法很快的產生了，因為要計算總和與部分。

2、人們一五一十地數數。
相同加數的反復計算，人們記住了一些結論（比如五五二十五……）
寫5+5+5+5+5+5+5既是個體力活，也容易數錯，於是乘法這種寫起來比較短的玩意兒得到了大家的歡迎。

3、有加就有減，於是有乘就有除。正如同有生就有死，有女就有男。

4、4÷2還好辦，1÷2我們可以細化單位（小數）。但是1÷3，我該拿你如何是好？
最後人類終於認輸，索性就說這是個數，什麼數呢？1/3,1÷3的那個數嘛。

類似的事情人類後來做過許多次，比如√2，比如π，甚至2^10000、123!
雖然用以前的方法無法表示，反正用這個方式得到的結果就是它了。

這個點上是個坎兒，很多孩子遲早都會遇上。會有一批四五年級的孩子糾結，1/3能不能作為最終答案，也會有六年級孩子糾結2π怎麼能作為答案呢，一定要寫成6.28嘛。
我自己當年是在√2這裡糾結，很認真地跟我爸吼過“這題有問題，答案得√17/3然後我不會算了”然後被我爸一副苦笑不得的表情強調“這就是個數啊怎麼不能答案是它了”
（說實話，數域拓展這個坎兒過了，e^π什麼的就不太容易糾結了……他就是個表示方法而已……）

5、既然數域擴展了，我們自然要問，原先擅長的運算，在新數域中還能用嗎？
（就好像見到了新的果子，我們總想試試，原先熟悉的吃法，在它身上也ok嗎？）

分數好辦，因為我們這時候已經將12×3稱為“12的3倍”了，而我們又知道3這家伙和9/3其實是一回事兒。所以我們知道12×（9/3）可以說成是”12的9/3倍“。
嗯，這樣就是分數了。
簡單地套用一下，我們就可以得到，“12×1/3”就是“12的1/3倍”而已。
小數和分數差不多，大概也就這樣吧。

這個時候的乘法，已經開始脫離“相同加數的加法的簡便運算”的含義了。
就好像傳話，每個人說的跟下一個人都不會差太多，但是最後一個和最開始的一個卻可以完全不相關。
所以這裡也是一個坎兒。
很多五年級的孩子在這裡受挫。
他們不肯放棄乘法原初的含義，糾結於“什麼叫1/3個”，對分數倍難以理解。
我不知道該說他們固執，還是該說他們嚴謹。
但是“類比”能力過差、太過於要求“必須和原來完全一樣”，這樣的話是沒辦法進步的。
向前探索的過程，多少需要那麼一點點想象力。


6、我們遇到了越來越大的數
我們開始計算5×5×5×5×5×5×5這樣的數了。
我們遇到了和以前一樣的困難：寫這麼長好麻煩。
沒關系，我們只要用和以前一樣的方式來解決它就好了：定義一個新的書寫方式。
於是我們有了5^7(5的7次方)這樣的運算。

7、和乘法一樣，我們想知道新的乘方運算是不是能拿來對付所有數。
我們試了試5^(2/3)。
……
這沒辦法用“2/3個5連乘”來理解啊，怎麼辦= =……
別著急，分數乘法那會兒我們怎麼辦的來著？對了，變成整數看看。
如果是8/4這樣的分數，5^(8/4)次方，也就是5^2，跟5^8有什麼關系？
啊，這個好懂，它開了4次方根。
那麼跟以前一樣，照樣子類比一下就好了，5^(2/3)，就是5的2次方，再開3次方根。

不錯不錯，各個運算在各個數上都能用。
挺好挺好。

8、然後我們發現了無理數。
這不好= =，我們不能像把分數歸到整數再嘗試用除法來理解那樣做了。
因為無理數這倒霉玩意兒來源多種多樣，不都是用同一種運算得到的。
這怎麼辦……
沒關系。
偵探們說，思路受阻的時候就回案發現場看看。
我們也是，向分數一樣，我們仍舊回頭看看無理數本身，我們之前用了什麼統一的方式來對付這類數？
我們用了極限逼近。
那麼就同樣的用到計算上來吧。
於是我們會算3^π了。
至於意思？
呃，大概，反正，咱們就是一點點兒類比出來的嘛，反正我會算了，管他什麼意思= =~

9、除了數之外，我們還玩兒了圖形。
從平面到立體，再到奇奇怪怪的各種空間。
……
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好啦總之現在我們有了好多好多好多乘法的使用方式了~
這時候我們冷靜下來回頭一看，哎呀這些乘法的含義都有微妙的差別呢！這麼多互不相同的東西，居然都用同樣的乘法來計算，這一定有什麼原因！
於是我們開始坐下來思考，最終想到的這個原因，就是各位所回答的“本質”

可是我們這一路走來，並不僅僅是收獲了最後的這個“本質”而已。
我們體會到了“發明個新符號來化簡寫法。”
我們更加放寬心態，覺得“算不出來也不要緊，這就是一種新的數嘛”
我們遇到困難的時候，逐漸習慣於“以前是怎麼做的？有沒有什麼可以參考？”的類比。
甚至也許可以包括，“因為他們都可以表示成同樣的形式，所以他們本身是相對應有聯系的”這種更開闊的思維方式。

可以看到，每一次我們的進步，都伴隨著“打破以前糾結的內容，用更高層次的視角來看問題”這樣的轉變。
寫好多次很累，那就不要這樣寫嘛，發明個新符號咯~
除不盡好頭疼，那就不要除了嘛，這就是個新數啦~
找不到誰的平方數是-1，那就不找了嘛，給他個符號就好啦~
幾何當中居然有代數裡面的乘法，那說明他們本來就是一個事物的兩個方面嘛，有對應也很好啊~
……
具體到你的問題，“這些意義各不相同，到底哪個是本質？”，那麼他們都不是本質。

我覺得，會開始糾結這樣的問題，就是邁進下一個階段的前兆。
等什麼時候終於想通了，看開了，意識到“之前所糾結的問題根本就不是問題”，就是給自己打開了一扇新的門。

幸運或不幸的，我們絕大多數人所能遇到的門，都已經有前人打開過了，他們可以告訴我們，這扇門打開之後是什麼樣子，幫助我們更快地打開自己的這同一扇門

你只是暫時停在了這樣的一扇門前而已。
如果你想要快點打開它，閱讀些前人的經驗、把心放開。

請加油。

[本那比經略]

學過電腦的都知道，四則運算歸根到底都是加法。。。:lol: